Magyar zsidó családból származott, de már New Yorkban született, és mint a família férfi tagjait generációk óta, eredetileg őt is jogi pályára szánták. Édesapja nehezen fogadta el, hogy fia mégis inkább a művészetekhez vonzódik, édesanyja és nagybátyja viszont támogatták a színház iránti vonzalmát és gyakran vitték magukkal előadásokra.
Színházi segédrendezőként kezdett el dolgozni, majd az 1920-as évektől kezdődően rendező lett a Broadway-on. 1926-ban F. Scott Fitzgerald, A nagy Gatsby-jét állította színpadra Owen Davis forgatókönyve alapján, mellyel felkeltette a New York-i kritikusok figyelmét.
Cukor a hangosfilmek megjelenésének idején került a színház világából Hollywoodba. Technikai szakemberként dolgozott. Színházban szerzett tapasztalata nagyon hasznos volt, amikor az addig némafilmben szereplő színészeket a szöveggel kapcsolatban is instruálni kellett. 1929-ben a Paramount Picturesnél dolgozott, mint dialógrendező, de hamarosan rendezővé lépett elő. Előszeretettel filmesített meg színdarabokat: Vacsora nyolckor, Az asszonyok, Philadelphiai történet maradandóan a legkedveltebb hollywoodi filmek közé tartoznak. Mély kapcsolata a filmekkel és a szereplőikkel azt eredményezte, hogy nagyon könnyen és nagyon természetesen fedezett fel tehetségeket, akik a filmjei nyomán legendás sztárokká nőtték ki magukat. Dolgozott együtt Ingrid Bergmannal (Gázláng), Marilyn Monroe-val (Szeressünk!), Greta Garbóval (A kaméliás hölgy), Judy Garlanddal (Csillag születik) és Audrey Hepburnnel (My Fair Lady) is.
Híres musicalje a Csillag születik Judy Garlanddal. Ez volt Cukor első, teljes mértékben színesben forgatott filmje. Legismertebb alkotása azonban a My Fair Lady, minden idők egyik legkedveltebb musicalje. Cukor feldolgozását 12 kategóriában jelölték Oscarra, nyolcat meg is kapott, köztük a legjobb filmnek járó díjat.
Eredetileg Cukor rendezte volna az Elfújta a szelet is, hiszen nagyon jó barátságban volt David O. Selznick producerrel, azonban a forgatás megkezdése után pár nappal leváltották Victor Flemingre. Állítólag a férfi főszereplő, Clark Gable nem érezte komfortosan magát, mivel Cukort női rendezőnek tartotta, ezért kifúrta a produkcióból.
A stúdiórendszer felbomlása kedvezőtlenül érintették Cukort. Gene Allen művészeti rendezővel saját produkciós vállalatot alapított 1963-ban, azonban jelentősebb sikereket nem tudtak elérni. Kései filmjei megbuktak mind a kritikusok szemében, mind a mozipénztáraknál. Pályája azzal a rendszerrel hanyatlott le, amelyben felnevelkedett.