Művészi munkáját 1972-ben Jászai Mari-díjjal, 1982-ben érdemes művészi, 1987-ben kiváló művészi címmel ismerték el, a Kossuth-díjat 1995-ben vehette át. Bátyja, a nála tizenkét évvel idősebb Sinkovits Imre az ország egyik legnépszerűbb színésze volt, s László már tízéves korában gyakran ült a régi Nemzeti Színházban, amikor testvére játszott. Nem csoda, hogy ő is a színi pályát választotta. A két testvér nagyon eltérő úton járt, ahogy később Sinkó megfogalmazta: "Tűz és víz voltunk, mást gondoltunk a szakmáról, a világról." Ám ez nem szült köztük ellentétet. Diplomájának megszerzése után, a debreceni Csokonai Színházhoz szerződött, ahol különböző műfajú darabokban, még operettben is játszhatott. Később a Nemzeti Színházban jobbnál jobb szerepekkel halmozták el, idővel azonban elfogytak a szerepek, alig lépett színpadra. 1982-ben a magyar színházi életet felpezsdítő Katona József Színház alapító tagja volt, itt vált igazán színésszé, rangos nemzetközi fesztiválokon jutalmazott produkciók részesévé. Rengeteg nagy szerepe volt, többek között Versinyin (Három nővér), Übü papa (Übü király) - ezek a műsorról levehetetlen darabok voltak, s ő beírta velük a nevét a magyar színháztörténetbe. Így emlékezett erre az időszakra: "Akkor és ott úgy álltak a csillagok, ahogy azóta sem. Szakmai életem legszebb tizenkét esztendejét töltöttem ott el, s túlzás nélkül mondhatom, a huszadik századi színjátszás legkiemelkedőbb időszakát éltem meg." Évekig szerepelt a kilencvenes évek kultikus magyar teleregényében, a Szomszédokban. Szinkronizálni is gyakran hívták: az ő hangján szólalt meg a Macskafogó című rajzfilmben a szuper egérügynök Grabowski. Egy esés következtében eltört a bordája, és légmellett kapott, sajnos nem épült fel, 75 éves korában elhunyt.